Programm Dokumentation/Berechnung/Solarthermie

Was berechnet wird

Ein Solarkollektorfeld wandelt Einstrahlung in Nutzwärme. Der Lauf ermittelt zuerst für jede Stunde das Bruttopotenzial des Feldes — es hängt allein vom Wetter, von der Ausrichtung und von den Kollektorkennwerten ab, nicht vom Bedarf und nicht vom Speicherfüllstand — und entscheidet erst danach, wohin diese Wärme geht: Direktdeckung, Speicherladung oder Überschuss (verworfene Wärme).

Ergebnisgrößen sind der nutzbare Jahresertrag je Kollektorfeld, seine Aufteilung auf Deckung und Ladung, der verworfene Überschuss und der Deckungsanteil an der Jahreswärme.

Eingangsgrößen

Größe	Einheit	Herkunft im Programm
Globalstrahlung, Direktstrahlung, Diffusstrahlung, Außentemperatur	W/m², °C	Klimadatenreihe der Klimaregion, 8 760 Stundenwerte
Längengrad, Breitengrad	°	Klimaregion des Projekts (Sonnenstand)
Anzahl Kollektoren	Stück	Dialog „Solarkollektoren", Abschnitt „Kollektor"
Neigung, Azimut	°	derselbe Abschnitt
Aperturfläche je Kollektor	m²	Kollektorkatalog, Feld „Aperturfläche"
Konversionsfaktor $h_0$	—	Kollektorkatalog
Wärmeverlustkoeffizient $k_1$	W/(m²·K)	Kollektorkatalog
Temperaturabhängiger Verlustkoeffizient $k_2$	W/(m²·K²)	Kollektorkatalog
Einfallswinkelkorrektur $K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}$(50°)	—	Kollektorkatalog
Wärmesenken und Ladeaufträge	—	Simulationskonfiguration, Karte des Kollektorfelds
Ladepriorität	1…99	Simulationskonfiguration; Vorgabe 10 für die Solarthermie

Formelzeichen und Parameter

Die Schreibweise ist die der ganzen Rubrik: $t$ ist die Stunde des Jahres (1…8 760), $G$ eine Bestrahlungsstärke, $q$ eine flächenbezogene Leistung, $Q$ eine Wärmemenge, $\vartheta$ eine Temperatur in Grad Celsius, $\eta$ ein Wirkungsgrad, $\beta$ und $\gamma$ Neigung und Azimut. Umlaute stehen in den Formeln in ASCII-Umschrift — der Überschuss heißt dort $Q_{\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}$.

Parameter

Eingaben, Katalogwerte, Vorgaben und Konstanten. Sie ändern sich innerhalb eines Laufs nicht.

Symbol	Bedeutung	Einheit	Herkunft
$n$	Anzahl Kollektoren des Feldes	Stück	Dialog „Solarkollektoren", Abschnitt „Kollektor", Feld „Anzahl"
$\beta$	Neigung der Kollektorebene	°	derselbe Abschnitt, Feld „Neigung"
$\gamma$	Azimut der Kollektorebene	°	derselbe Abschnitt, Feld „Azimut"
$A_{\mathrm{A}\mathrm{p}}$	Aperturfläche eines Kollektors	m²	Kollektorkatalog, Feld „Aperturfläche" — nicht die Modulfläche
$h_0$	Konversionsfaktor (optischer Wirkungsgrad)	—	Kollektorkatalog
$k_1$	Wärmeverlustkoeffizient	W/(m²·K)	Kollektorkatalog
$k_2$	temperaturabhängiger Verlustkoeffizient	W/(m²·K²)	Kollektorkatalog
$K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{50}}$	Einfallswinkelkorrektur bei 50°	—	Kollektorkatalog, Feld $K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}$(50°)
${\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}$	Arbeitstemperatur, gegen die der Kollektor rechnet	°C	Konstante: 50 — fest verdrahtet, im Dialog nirgends einstellbar
$f_{\mathrm{L}}$	Leitungsverlustfaktor des Solarkreises	—	Konstante: 0,92 — fest verdrahtet
$\rho$	Boden-Albedo der isotropen Transposition	—	Konstante: 0,2 — fest verdrahtet; es gibt hier keine Hay-Davies-Transposition
—	keine Stagnation, keine Kollektorabschaltung, keine Solarkreispumpe	—	fest verdrahtet — dafür gibt es keinen Parameter und keine Formel
${\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$	Bezugswinkel der $b_0$-Näherung	°	Konstante: 50
$c_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$	untere Klemme des Kosinus in der IAM-Rechnung	—	Konstante: 0,001 — sie verhindert die Division durch null bei flachem Einfall
$r$	Ladepriorität des Feldes in der Ladeordnung	—	Simulationskonfiguration; Vorgabe: 10 — der erste Lader der Kaskade

Die vier Zeilen mit „fest verdrahtet" sind die vier Annahmen dieses Rechenwegs, die im Dialog nirgends stehen: die Arbeitstemperatur 50 °C, die pauschalen Leitungsverluste, die isotrope Einstrahlung mit Albedo 0,2 und der Verzicht auf Stagnation und Pumpenstrom. Wer die Zahlen der Seite nachrechnet, braucht sie — im Programm sieht er sie nicht.

Variablen

Größen, die der Lauf je Stunde oder je Kollektorfeld bildet.

Symbol	Bedeutung	Einheit	berechnet in
$t$	Stunde des Jahres, 1…8 760	—	Laufindex der Stundenschleife
$\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)$, $\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{I}(t)$, $\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)$	Global-, Direkt- und Diffusstrahlung	W/m²	Klimadatenreihe (Eingang)
${\vartheta }_{\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{t}}(t)$	Außentemperatur	°C	Klimadatenreihe (Eingang)
$\theta (t)$	Einfallswinkel der Direktstrahlung auf die Kollektorebene	°	Sonnenstand aus Längen- und Breitengrad, $\beta$ und $\gamma$
$G_{\mathrm{t}}(t)$	Bestrahlungsstärke in der Kollektorebene	W/m²	(1)
$b_0$	Beiwert der IAM-Näherung für Flachkollektoren	—	(2)
$\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{M}(t)$	Einfallswinkelkorrektur der Stunde	—	(3)
$\Delta \vartheta (t)$	Übertemperatur des Kollektors gegen die Umgebung	K	(4)
$\eta (t)$	Kollektorwirkungsgrad nach EN 12975	—	(5)
$q(t)$	flächenbezogene Nutzleistung des Kollektors	W/m²	(6)
$A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$	Aperturfläche des ganzen Feldes	m²	(7)
$Q_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)$	Bruttopotenzial des Feldes in dieser Stunde	kWh	(8)
$Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}(t)$	Anteil, der unmittelbar Bedarf deckt	kWh	(9)
$Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}(t)$	Anteil, der in einen Pufferspeicher geht	kWh	(9)
$Q_{\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}(t)$	Überschuss — verworfene Wärme	kWh	(9)
$Q_{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{z}}(t)$	nutzbarer Ertrag der Stunde	kWh	(10)

Rechenweg

Gerechnet wird im festen Jahresraster von 8 760 Stunden; $t$ ist in allen Gleichungen dieser Seite die laufende Stunde des Jahres und wird deshalb in den Legenden nicht wiederholt. Die Klimadatenreihe wird — wie bei der Photovoltaik — in Ortszeit gelesen: Die gespeicherte Reihe steht in UTC, gelesen wird sie um eine Stunde (Normalzeit) beziehungsweise zwei Stunden (Sommerzeit) versetzt; Sonnenstand und Einfallswinkel rechnen weiter auf der UTC-Zeitmarke jeder Zeile. Ohne diese Verschiebung stünde die Kollektorreihe ein bis zwei Stunden vor dem Wärmebedarf — die Jahressumme bliebe richtig, die stundenscharfe Deckung nicht.

Schritt 1 — Einstrahlung auf die Kollektorebene

Isotrop, mit dem Boden-Albedo $\rho =\mathrm{0,2}$ — dieselbe Rechnung wie im einfachen PV-Modell:

$G_{\mathrm{t}}(t)=\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{I}(t)\cdot \cos \theta (t)+\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)\cdot \frac{1+\cos \beta }{2}+\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)\cdot \rho \cdot \frac{1-\cos \beta }{2}$   (1)

$G_{\mathrm{t}}(t)$ – Bestrahlungsstärke in der Kollektorebene [W/m²]

$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{I}(t)$ – Direktstrahlung (senkrecht zur Sonne) [W/m²]

$\theta (t)$ – Einfallswinkel der Direktstrahlung auf die Kollektorebene [°]

$\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)$ – Diffusstrahlung auf die Horizontale [W/m²]

$\beta$ – Neigung der Kollektorebene [°]

$\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{I}(t)$ – Globalstrahlung auf die Horizontale [W/m²]

$\rho$ – Boden-Albedo [–], Konstante 0,2

Bei Nacht — Sonne unter dem Horizont — ist $G_{\mathrm{t}}(t)=0$.

Schritt 2 — Einfallswinkelkorrektur (IAM)

Aus dem Katalogwert $K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{50}}$ wird der $b_0$-Beiwert der üblichen Näherung für Flachkollektoren gebildet:

$b_0=\frac{1-K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{50}}}{\frac{1}{\cos {\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}-1}$   (2)

$b_0$ – Beiwert der IAM-Näherung für Flachkollektoren [–]

$K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{50}}$ – Einfallswinkelkorrektur des Katalogs bei 50° [–]

${\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$ – Bezugswinkel der Näherung [°], Konstante 50

$\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{M}(t)=\min (\max (1-b_0\cdot (\frac{1}{\max (\cos \theta (t),c_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})}-1),0),1)$   (3)

$\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{M}(t)$ – Einfallswinkelkorrektur der Stunde; auf 0…1 begrenzt [–]

$b_0$ – Beiwert aus (2) [–]

$\theta (t)$ – Einfallswinkel der Stunde [°]

$c_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ – untere Klemme des Kosinus [–], Konstante 0,001

Die Klemme $c_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{0,001}$ hält den Nenner endlich, damit ein flacher Einfall keine Division durch null erzeugt.

Schritt 3 — Kollektorwirkungsgrad nach EN 12975

$\Delta \vartheta (t)={\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}-{\vartheta }_{\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{t}}(t)$   (4)

$\Delta \vartheta (t)$ – Übertemperatur des Kollektors gegen die Umgebung [K]

${\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}$ – Arbeitstemperatur des Kollektors [°C], Konstante 50

${\vartheta }_{\mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{t}}(t)$ – Außentemperatur der Stunde [°C]

$\eta (t)=h_0\cdot \mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{M}(t)-k_1\cdot \frac{\Delta \vartheta (t)}{G_{\mathrm{t}}(t)}-k_2\cdot \frac{\Delta \vartheta (t{)}^2}{G_{\mathrm{t}}(t)}$   (5)

$\eta (t)$ – Kollektorwirkungsgrad nach EN 12975 [–]

$h_0$ – Konversionsfaktor (optischer Wirkungsgrad) des Katalogs [–]

$\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{M}(t)$ – Einfallswinkelkorrektur aus (3) [–]

$k_1$ – Wärmeverlustkoeffizient [W/(m²·K)]

$\Delta \vartheta (t)$ – Übertemperatur aus (4) [K]

$G_{\mathrm{t}}(t)$ – Bestrahlungsstärke in der Kollektorebene aus (1) [W/m²]

$k_2$ – temperaturabhängiger Verlustkoeffizient [W/(m²·K²)]

$q(t)=\max (0,G_{\mathrm{t}}(t)\cdot \eta (t))$   (6)

$q(t)$ – flächenbezogene Nutzleistung des Kollektors [W/m²]

$G_{\mathrm{t}}(t)$ – Bestrahlungsstärke in der Kollektorebene [W/m²]

$\eta (t)$ – Kollektorwirkungsgrad aus (5) [–]

${\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}$ ist im Modell fest 50 °C und keine Eingabe. Das ist die maßgebliche Vereinfachung dieser Seite: Der Kollektor rechnet gegen eine gleichbleibende Arbeitstemperatur, nicht gegen den tatsächlichen Zustand seines Speichers.

Schritt 4 — Bruttopotenzial des Feldes

$A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}=A_{\mathrm{A}\mathrm{p}}\cdot n$   (7)

$A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ – Aperturfläche des ganzen Feldes [m²]

$A_{\mathrm{A}\mathrm{p}}$ – Aperturfläche eines Kollektors [m²]

$n$ – Anzahl Kollektoren des Feldes [Stück]

$Q_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)=\frac{q(t)\cdot A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}\cdot f_{\mathrm{L}}}{1000}$   (8)

$Q_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)$ – Bruttopotenzial des Feldes in dieser Stunde [kWh]

$q(t)$ – flächenbezogene Nutzleistung aus (6) [W/m²]

$A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ – Aperturfläche des Feldes aus (7) [m²]

$f_{\mathrm{L}}$ – Leitungsverlustfaktor des Solarkreises [–], Konstante 0,92

$1000$ – Umrechnung von W in kW [W/kW]

Der Faktor $f_{\mathrm{L}}=\mathrm{0,92}$ sind pauschale Leitungsverluste des Solarkreises. Auch er ist fest verdrahtet und nicht einstellbar. Die Division durch 1 000 rechnet W in kW um; über eine Stunde ist das die kWh dieser Stunde.

Schritt 5 — Wohin die Wärme geht

Das Potenzial der Stunde steht jedem Feld zunächst voll zur Verfügung. Danach gilt in der Stundenschleife, in dieser Reihenfolge:

1. Direktdeckung über die Direktsenken des Feldes (bei „beides" mit Warmwasservorrang)
2. Speicherladung über die Ladeaufträge, bis zur Abschaltschwelle des Speichers
3. Überschuss — alles, was weder gedeckt noch gespeichert werden konnte, ist verworfen

$Q_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)=Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}(t)+Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}(t)+Q_{\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}(t)$   (9)

$Q_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}(t)$ – Bruttopotenzial des Feldes aus (8) [kWh]

$Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}(t)$ – Anteil, der unmittelbar Bedarf deckt [kWh]

$Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}(t)$ – Anteil, der in einen Pufferspeicher geht [kWh]

$Q_{\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}(t)$ – Überschuss; weder gedeckt noch gespeichert, also verworfen [kWh]

$Q_{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{z}}(t)=Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}(t)+Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}(t)$   (10)

$Q_{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{z}}(t)$ – nutzbarer Ertrag der Stunde [kWh]

$Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}(t)$ – Direktdeckung der Stunde [kWh]

$Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}(t)$ – Speicherladung der Stunde [kWh]

Ein Feld ohne Direktsenke deckt nichts und lädt ausschließlich. Mit dem Vorgaberang $r=10$ ist die Solarthermie der erste Lader der Kaskade — vor Wärmepumpe (20), BHKW (30) und Heizkessel (40). Der Grund steht in der Rangfolge selbst: Ihre Grenzkosten sind praktisch null, und nicht genutzte Einstrahlung ist verloren. Wo am Speicher eine Reservezone gepflegt ist (die Abschaltschwelle für nachrangige Anlagen), laden die übrigen Erzeuger nur bis dorthin und lassen den oberen Teil für die Solarthermie frei. Ist das Feld leer und lädt die Solarthermie den Speicher vorrangig, gilt für die nachrangigen Erzeuger die Automatik 30 % der nutzbaren Kapazität; ohne Solarthermie am Speicher gilt bei leerem Feld die Abschaltschwelle.

Was der Speicher später an den Bedarf abgibt, wird dem Erzeuger zugerechnet, der geladen hat — die Solarthermie erhält davon ihren Anteil. $Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}$ plus dieser Anteil ist ihr Eigenanteil an der Bedarfsdeckung; der Restwärmebedarf wird ausdrücklich aus $Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}$ gebildet, sonst würde er negativ und die Deckung überschritte 100 %.

Grenzen und Annahmen

• Die Arbeitstemperatur ist fest ${\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}=50$ °C. Der Wirkungsgrad (5) hängt damit nicht vom tatsächlichen Speicherzustand ab. Ein kalter Speicher am Morgen brächte real mehr Ertrag, ein voller weniger; das Modell rechnet beides gleich.
• Die Leitungsverluste sind pauschal 8 % ($f_{\mathrm{L}}=\mathrm{0,92}$) und nicht einstellbar.
• Keine Stagnation, keine Kollektorabschaltung. Wärme, die niemand aufnimmt, wird als Überschuss $Q_{\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}$ verworfen; eine Begrenzung der Kollektortemperatur oder ein Abschaltkriterium gibt es nicht.
• Keine Solarkreispumpe. Ihr Stromverbrauch geht nicht in die Bilanz ein.
• Kein Wärmeübertrager zum Speicher. Die Übertragung ist verlustfrei, abgesehen von $f_{\mathrm{L}}$.
• Eine Ausrichtung je Feld. $\beta$ und $\gamma$ hängen an der Anlagenzeile.
• Die Einstrahlung ist isotrop — anders als beim erweiterten PV-Modell gibt es hier keine Hay-Davies-Transposition; (1) ist die einzige Transpositionsformel dieser Seite.
• $K_{\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{u}}$ („$K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}$") rechnet nicht mit. Der Katalog führt den Wert und der Editor pflegt ihn; (5) benutzt nur $h_0$, $k_1$, $k_2$ und $K_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{50}}$.
• „Modulfläche" ist nicht die Rechengröße. In (7) steht die Aperturfläche mal der Anzahl Kollektoren; die Modulfläche ist Anzeige.
• Vor- und Rücklauf gehen nicht ein. Das Kollektorfeld führt kein Temperaturpaar; der Dialog fragt keines ab, und der Lauf rechnet allein gegen die feste Arbeitstemperatur ${\vartheta }_{\mathrm{S}\mathrm{p}}=50$ °C.
• Die Solarthermie-Ganglinien sind kein Rechenweg. Die Zeitreihen, die sich einem Projekt zuordnen lassen, werden gepflegt, kopiert und exportiert — der Simulationslauf liest sie nicht. Er rechnet den Ertrag aus Klimadaten und Kollektorkennwerten. Wer eine gemessene Reihe einsetzen will, kann das über diesen Weg heute nicht.

Ergebnisse und wo sie stehen

• Simulationsergebnis, Reiter „Solarthermie" — je Kollektorfeld Name, Gesamtfläche $A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$, Anzahl, nutzbarer Jahresertrag und verworfener Überschuss.
• Simulationsergebnis, Reiter „Übersicht" — der Deckungsanteil der Solarthermie an der Jahreswärme.
• Simulationsergebnis, Reiter „Ergebnis", Blatt „Wärme Produktion Chart" — $Q_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}$ und $Q_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}}$ im Stapel der Erzeuger.
• Simulationsprotokoll — nicht lesbare Klimaregion, Felder ohne Senke.
• Bericht und Wirtschaftlichkeit — der Ertrag als vermiedene Brennstoffmenge.

Bezüge

• Solarthermie — Bedienung von Katalog, Projektdialog und Ganglinienverwaltung
• Berechnung: Simulationsablauf — Kaskade, Phasen der Stundenschleife, Ladeordnung
• Berechnung: Pufferspeicher — Abschaltschwelle, Reservezone und die Zurechnung der Entladung
• Berechnung: Photovoltaik — dieselbe Sonnengeometrie und Zeitbasis, anderes Ertragsmodell
• Berechnung: Wärmebedarf — woher der Bedarf kommt, den die Kollektoren decken
• Klimadaten — Herkunft und Pflege der Strahlungsreihen