Programm Dokumentation/Berechnung/Wärmequelle Erdreich

Was berechnet wird

Zwei Dinge, die zusammengehoeren, aber getrennt laufen:

1. Die Quelltemperatur einer erdgekoppelten Waermepumpe ueber das Jahr — 8 760 Stundenwerte in °C. Sie geht in die Kennlinie ein und bestimmt damit Leistungszahl und Leistung der Waermepumpe.
2. Die Auslegungspruefung nach VDI 4640 Blatt 2 — nach einem Simulationslauf wird der tatsaechliche Entzug gegen die zulaessigen Grenzwerte gehalten.

Grundlage der Temperaturrechnung ist VDI 4640 Blatt 1, Entwurf 2021-12 (Gruendruck); die Auslegungspruefung folgt VDI 4640 Blatt 2:2019-06 (Weissdruck), Anhaenge A und B. Der Entwurfsstand von Blatt 1 ist bewusst gewaehlt und wird hier ausdruecklich genannt.

Eingangsgrößen

Groesse	Einheit	Herkunft im Programm
Quellsystem: Erdkollektor oder Erdsonde	—	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Abschnitt „Quellsystem"
Verlegetiefe (Kollektor) bzw. Laenge je Sonde	m	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Verlegetiefe" bzw. „Länge je Sonde"
Kollektorflaeche	m²	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Fläche"
Anzahl Sonden	—	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Anzahl Sonden"
Bodentyp	—	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Bodentyp" (13 Untergrundtypen)
Klimazone nach DIN 4710	1…15	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Klimazone"; die Karte hilft bei der Wahl
Nutzbare Spreizung der Quelle	K	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Nutzbare Spreizung"; nicht gepflegt = 5 K
Aussentemperatur der Klimaregion	°C	Klimaregion des Projekts, 8 760 Stundenwerte in Ortszeit
Waermeproduktion und Strombedarf der Waermepumpe	kW je Stunde	Ergebnis des Simulationslaufs

Formelzeichen und Parameter

Parameter

Was in die Rechnung hereinkommt:

Symbol	Bedeutung	Einheit	Herkunft
$t$	Stunde des Jahres, t = 1 … 8 760	—	Zeitraster (Konstante: 8 760 Stunden je Jahr)
$\omega$	Kreisfrequenz des Jahresgangs	1/h	Konstante: 2π / 8 760 = 7,1725 · 10−4
${\vartheta }_{\mathrm{a}}(t)$	Aussentemperatur der Klimaregion	°C	Klimaregion des Projekts, 8 760 Stundenwerte in Ortszeit
$z$	Verlegetiefe des Kollektors	m	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Verlegetiefe"; Vorgabe: 1,5 m
${\ell }_{\mathrm{S}}$	Laenge je Sonde	m	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Länge je Sonde"
$n_{\mathrm{S}}$	Anzahl Sonden	—	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Anzahl Sonden"
$A_{\mathrm{K}}$	Kollektorflaeche	m²	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Fläche"
$\lambda$	Waermeleitfaehigkeit des Untergrunds	W/(m·K)	Bodentypkatalog nach VDI 4640 Blatt 1, Tabelle 1; Vorgabe: Sand feucht, λ = 1,4
$\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$	volumenbezogene Waermekapazitaet des Untergrunds	MJ/(m³·K)	derselbe Katalog; Vorgabe: Sand feucht, 1,90
$\Delta \vartheta$	nutzbare Spreizung der Quelle	K	Dialog „Wärmequelle Erdreich", Feld „Nutzbare Spreizung"; Vorgabe: 5 K
$P_{\mathrm{t}\mathrm{h},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t),P_{\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$	Waermeproduktion und Stromaufnahme der Waermepumpe	kW	Ergebnis des Simulationslaufs
$n_{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}}$	Betriebsstunden der Waermepumpe im Lauf	h/a	Ergebnis des Simulationslaufs
$q_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}},e_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$	zulaessige Entzugsleistung und Entzugsenergie des Kollektors	W/m², kWh/(m²·a)	VDI 4640 Blatt 2, Tabelle A2 (15 Klimazonen × 4 Bodenarten, vollstaendig hinterlegt)
$q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$	zulaessige spezifische Entzugsleistung der Sonde	W/m	VDI 4640 Blatt 2, Tabelle B2 (Auszug, siehe Schritt 8)
$\mathrm{1,5}$	Oberflaechenoffset der Sondentemperatur	K	Konstante, VDI 4640 Blatt 1
$\mathrm{0,03}$	geothermischer Gradient	K/m	Konstante, VDI 4640 Blatt 1
$20$	Untergrenze der neutralen Zone	m	Konstante, VDI 4640 Blatt 1
$\mathrm{0,05}$	Frostschwelle als Anteil der Betriebsstunden	—	Konstante des Rechenkerns (5 %)

Variablen

Was die Rechnung selbst bildet:

Symbol	Bedeutung	Einheit	berechnet in
${\vartheta }_{\mathrm{m}}$	Jahresmittel der Aussenluft; Ersatzwert 9,5 °C	°C	(1)
$a_1,b_1$	Koeffizienten der Ausgleichsrechnung gegen Kosinus und Sinus	K	Ausgleichsrechnung in Schritt 1
$A$	Amplitude des Jahresgangs; Ersatzwert 8,5 K	K	(2)
$t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$	Stunde des Jahresminimums; Ersatzwert 480 h	h	(3)
$a$	Temperaturleitfaehigkeit des Untergrunds	m²/s	(4)
$d$	Daempfungstiefe	m	(5)
${\vartheta }_{\mathrm{K}}(z,t)$	Quelltemperatur des Erdkollektors	°C	(6)
${\vartheta }_{\mathrm{S}}$	Quelltemperatur der Erdsonde, ueber das Jahr konstant	°C	(7)
${\vartheta }_{\mathrm{Q}}(t)$	Quelltemperatur der Anlage — ϑK(z, t) oder ϑS	°C	(6) bzw. (7)
$P_{\mathrm{Q}}(t)$	Entzugsleistung der Stunde t	kW	(8)
$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$	Jahresentzugsarbeit	kWh/a	(9)
$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$	maximale Entzugsleistung	W	(10)
$t_{\mathrm{V}}$	Jahresvolllaststunden des Entzugs	h/a	(11)
$q_{\mathrm{A}}$	Entzugsleistung je Kollektorflaeche	W/m²	(12)
$e_{\mathrm{A}}$	Entzugsenergie je Kollektorflaeche	kWh/(m²·a)	(13)
$A_{\mathrm{K},\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}$	erforderliche Kollektorflaeche	m²	(14)
${\ell }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$	gesamte Sondenmeterzahl	m	(15)
$q_{\mathrm{B}}$	spezifische Entzugsleistung der Sonde	W/m	(16)
${\ell }_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}$	erforderliche Sondenmeterzahl	m	(17)
$n_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}$	Zahl der Betriebsstunden mit Frost an der Quelle	h/a	(18)

Rechenweg

1. Den Jahresgang der Aussenluft bestimmen

Das Erdreichmodell braucht drei Zahlen aus dem Aussentemperaturvektor: das Jahresmittel ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$, die Amplitude A und die Stunde des Minimums $t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$.

${\vartheta }_{\mathrm{m}}=\frac{\sum _{t=1}^{8760}{\vartheta }_{\mathrm{a}}(t)}{8760}$   (1)

${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ – Jahresmittel der Aussenluft; Ersatzwert 9,5 [°C]

${\vartheta }_{\mathrm{a}}(t)$ – Aussentemperatur der Klimaregion in der Stunde [°C]

$8760$ – Stunden je Jahr [h]

Amplitude und Minimum kommen nicht aus den Extrema der Stundenwerte — die ueberschaetzen die Amplitude erheblich —, sondern aus einer Ausgleichsrechnung ueber die zwoelf Monatsmittel gegen Kosinus und Sinus des Jahresgangs (2×2-Normalgleichung mit den exakten Monatsmitteln der Regressoren, angesetzt auf die Abweichung der Monatsmittel von ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$). Aus den beiden Koeffizienten folgt

$A=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$   (2)

$A$ – Amplitude des Jahresgangs; Ersatzwert 8,5 [K]

$a_1$, $b_1$ – Koeffizienten der Ausgleichsrechnung gegen Kosinus und Sinus [K]

$t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{arctan2}(-b_1,-a_1)}{\omega }$   (3)

$t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ – Stunde des Jahresminimums; Ersatzwert 480 [h]

$a_1$, $b_1$ – Koeffizienten der Ausgleichsrechnung nach Schritt 1 [K]

$\omega$ – Kreisfrequenz des Jahresgangs, $2\pi /8760$ [1/h]

Ein negativer Winkel in (3) wird vorher um $2\pi$ angehoben, damit $t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ im Jahr liegt.

Wann Ersatzwerte gelten. Ein 8 760er-Feld kann formal vollstaendig sein und trotzdem keine Klimadaten enthalten. Der Rechenkern prueft deshalb vier Dinge und faellt sonst auf das Deutschland-Mittel nach VDI 4640 Blatt 1 zurueck:

Befund	was er bedeutet
zu kurz oder nicht vorhanden	kein Vektor
mehr als 5 % exakte Nullen	Feld nur teilweise befuellt
${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ ausserhalb −10 … +25 °C	kein bewohnter Standort
A < 1 K und ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ ausserhalb 0 … 20 °C	kein Konstantvektor, sondern Datenrest

Die Ersatzwerte lauten ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ = 9,5 °C, A = 8,5 K und $t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ = 480 h (zweite Januarhaelfte). Dass mit ihnen gerechnet wurde, sagt der Dialog an.

2. Erdkollektor — Jahresgang nach Kusuda

Aus den Bodenkennwerten folgen zuerst Temperaturleitfaehigkeit und Daempfungstiefe:

$a=\frac{\lambda }{\rho \cdot c_{\mathrm{p}}\cdot 10^6}$   (4)

$a$ – Temperaturleitfaehigkeit des Untergrunds [m²/s]

$\lambda$ – Waermeleitfaehigkeit des Untergrunds [W/(m·K)]

$\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$ – volumenbezogene Waermekapazitaet des Untergrunds [MJ/(m³·K)]

$10^6$ – Umrechnung MJ/(m³·K) in J/(m³·K) [J/MJ]

$d=\sqrt{\frac{2\cdot a\cdot 3600}{\omega }}$   (5)

$d$ – Daempfungstiefe [m]

$a$ – Temperaturleitfaehigkeit nach (4) [m²/s]

$\omega$ – Kreisfrequenz des Jahresgangs [1/h]

$3600$ – Umrechnung von m²/s in m²/h, damit $\omega$ in 1/h eingesetzt werden kann [s/h]

$2$ – Faktor der Daempfungstiefe nach VDI 4640 Blatt 1 [–]

Der Faktor $10^6$ in (4) rechnet $\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$ von MJ/(m³·K) in J/(m³·K); der Faktor 3 600 in (5) rechnet a von m²/s in m²/h, damit $\omega$ in 1/h eingesetzt werden kann und d in Metern herauskommt.

Damit die Quelltemperatur in der Tiefe z:

${\vartheta }_{\mathrm{K}}(z,t)={\vartheta }_{\mathrm{m}}-A\cdot \exp (-z/d)\cdot \cos (\omega \cdot (t-t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})-z/d)$   (6)

${\vartheta }_{\mathrm{K}}(z,t)$ – Quelltemperatur des Erdkollektors in der Tiefe z [°C]

${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ – Jahresmittel der Aussenluft nach (1) [°C]

$A$ – Amplitude des Jahresgangs nach (2) [K]

$z$ – Verlegetiefe des Kollektors; Vorgabe 1,5 [m]

$d$ – Daempfungstiefe nach (5) [m]

$\omega$ – Kreisfrequenz des Jahresgangs [1/h]

$t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ – Stunde des Jahresminimums nach (3) [h]

Die Verlegetiefe z daempft die Amplitude mit $\exp (-z/d)$ und verschiebt zugleich die Phase um z/d Radiant — in 1,5 m Tiefe in feuchtem Sand (d = 2,72 m) bleiben rund 58 % der Amplitude, und das Minimum kommt rund einen Monat spaeter als an der Oberflaeche (0,55 rad entsprechen 769 Stunden). Ohne Angabe gilt die Vorgabetiefe 1,5 m.

3. Der Bodentypkatalog

13 Untergrundtypen nach VDI 4640 Blatt 1, Tabelle 1. Angegeben sind der empfohlene Rechenwert der Waermeleitfaehigkeit $\lambda$ [W/(m·K)] und die volumenbezogene Waermekapazitaet $\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$ [MJ/(m³·K)]; die Temperaturleitfaehigkeit a und die Daempfungstiefe d folgen daraus nach (4) und (5).

Untergrund	$\lambda$	$\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$	a [mm²/s]	d [m]
Ton/Schluff, trocken	0,5	1,55	0,32	1,80
Ton/Schluff, wassergesaettigt	1,8	2,40	0,75	2,74
Sand, trocken	0,4	1,45	0,28	1,66
Sand, feucht (Vorgabe)	1,4	1,90	0,74	2,72
Sand, wassergesaettigt	2,4	2,50	0,96	3,10
Kies, trocken	0,4	1,45	0,28	1,66
Kies, wassergesaettigt	1,8	2,40	0,75	2,74
Geschiebemergel/-lehm	2,4	2,00	1,20	3,47
Tonstein	2,2	2,25	0,98	3,13
Sandstein	2,8	2,20	1,27	3,57
Kalkstein	2,7	2,25	1,20	3,47
Granit	3,2	2,55	1,25	3,55
Gneis	2,9	2,10	1,38	3,72

Ein unbekannter oder leerer Bodentyp ergibt Sand, feucht.

4. Erdsonde — konstante Quelltemperatur

Ab der neutralen Zone (10 bis 20 m) ist der Jahresgang abgeklungen; die Sonde bekommt deshalb eine ueber das Jahr konstante Quelltemperatur:

${\vartheta }_{\mathrm{S}}={\vartheta }_{\mathrm{m}}+\mathrm{1,5}+\mathrm{0,03}\cdot \max (0,\frac{{\ell }_{\mathrm{S}}}{2}-20)$   (7)

${\vartheta }_{\mathrm{S}}$ – Quelltemperatur der Erdsonde, ueber das Jahr konstant [°C]

${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ – Jahresmittel der Aussenluft nach (1) [°C]

${\ell }_{\mathrm{S}}$ – Laenge je Sonde; massgeblich ist die halbe, also die mittlere Tiefe [m]

$\mathrm{1,5}$ – Oberflaechenoffset der Sondentemperatur [K]

$\mathrm{0,03}$ – geothermischer Gradient [K/m]

$20$ – Untergrenze der neutralen Zone [m]

1,5 K ist der Oberflaechenoffset, 0,03 K/m der geothermische Gradient, und 20 m die Untergrenze der neutralen Zone — bis dorthin stammt die Energie nach VDI 4640 Blatt 1 „fast ausschliesslich aus Sonneneinstrahlung und Sickerwasser". Massgeblich ist die mittlere Tiefe, also die halbe Sondenlaenge ${\ell }_{\mathrm{S}}/2$.

Beispiele bei ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ = 9,5 °C: 50 m Sonde ergibt 11,15 °C, 100 m Sonde 11,9 °C.

5. Die Weiche zwischen beiden — und ihr Sicherheitsnetz

Gerechnet wird als Sonde, wenn das Quellsystem „Erdsonde" sagt. Oder wenn die eingetragene Tiefe ueber 10 m liegt: Reale Verlegetiefen eines Kollektors liegen bei 1 bis 2 m, der Dialog begrenzt sie auf 10 m — alles darueber kann nur eine Sondenlaenge sein. Ohne diesen Riegel liesse die Daempfung $\exp (-z/d)$ aus (6) (bei z = 90 m rund $\exp (-33)\approx 0$) die Quelle stillschweigend auf die Konstante ${\vartheta }_{\mathrm{m}}$ zusammenfallen. Der Fall kommt vor, weil die fuenf Felder des Dialogs einzeln geschrieben werden; er steht als Warnung im Laufprotokoll.

Fuer eine Waermepumpe vom Typ Luft-Wasser bleibt das Erdreich wirkungslos: Ihre Quelle ist immer die Aussenluft, egal was hier konfiguriert ist. Solche Anlagen werden auch nicht geprueft — sonst stuende eine VDI-4640-Aussage ueber ein Erdreich im Ergebnis, das die Simulation nie angefasst hat.

6. Nach dem Lauf: die Entzugsgroessen

$P_{\mathrm{Q}}(t)=P_{\mathrm{t}\mathrm{h},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)-P_{\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$   (8)

$P_{\mathrm{Q}}(t)$ – Entzugsleistung der Stunde [kW]

$P_{\mathrm{t}\mathrm{h},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$ – Waermeproduktion der Waermepumpe in der Stunde [kW]

$P_{\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$ – Stromaufnahme der Waermepumpe in derselben Stunde [kW]

$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}=\sum _{t=1}^{8760}\max (0,P_{\mathrm{Q}}(t))$   (9)

$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ – Jahresentzugsarbeit [kWh/a]

$P_{\mathrm{Q}}(t)$ – Entzugsleistung der Stunde nach (8) [kW]

$0$ – Untergrenze: Stunden mit einem Entzug von hoechstens null zaehlen nicht mit [kW]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=1000\cdot \max (0,\underset{t=1\dots 8760}{\max }{P}_{\mathrm{Q}}(t))$   (10)

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung [W]

$P_{\mathrm{Q}}(t)$ – Entzugsleistung der Stunde nach (8) [kW]

$1000$ – Umrechnung kW in W, so wie die Norm es verlangt [W/kW]

$0$ – Untergrenze: eine negative Spitze gibt es nicht [kW]

$t_{\mathrm{V}}=\frac{Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}\cdot 1000}{P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$   (11)

$t_{\mathrm{V}}$ – Jahresvolllaststunden des Entzugs [h/a]

$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ – Jahresentzugsarbeit nach (9) [kWh/a]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung nach (10) [W]

$1000$ – Umrechnung kWh in Wh; sie nimmt den Faktor aus (10) wieder heraus [Wh/kWh]

Stunden mit $P_{\mathrm{Q}}(t)$ ≤ 0 zaehlen weder in (9) noch in (10) — die Waermepumpe entzieht in ihnen nichts. Der Faktor 1 000 in (10) rechnet kW in W (so verlangt es die Norm), und (11) nimmt ihn wieder heraus, damit Stunden herauskommen.

Alle drei Groessen kommen aus derselben Basis — der Stundenganglinie $P_{\mathrm{Q}}(t)$. Das ist wichtig: Frueher stammten Arbeit und Volllaststunden aus den Modul-Jahressummen, die Spitze aber aus der Ganglinie. Die Waerme, die die Waermepumpe zum Laden eines Senkenspeichers erzeugt, steckt nur in der Ganglinie — die Pruefung setzte damit einen zu kleinen Jahresentzug gegen eine zu grosse Spitze und fiel stillschweigend zu milde aus.

Mehrere Waermepumpen. Die Ganglinie liegt nur global vor, also fuer alle Waermepumpen-Module zusammen. Daraus die Stufung:

• genau ein Modul → exakt, die globale Ganglinie IST die des Moduls;
• mehrere Module, alle mit Erdreich → $Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ und $P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ werden proportional zur Modul-Jahresentzugsarbeit verteilt und als Naeherung gekennzeichnet; in (11) kuerzt sich der Anteil heraus, $t_{\mathrm{V}}$ ist also modulunabhaengig;
• gemischte Quellen → nicht je Modul trennbar, die Pruefung bleibt aus und der Hinweis sagt warum.

7. Auslegungspruefung Erdkollektor (Anhang A)

Geprueft werden zwei Groessen, und beide muessen eingehalten sein:

$q_{\mathrm{A}}=\frac{P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{A_{\mathrm{K}}}\le q_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$   (12)

$q_{\mathrm{A}}$ – Entzugsleistung je Kollektorflaeche [W/m²]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung nach (10) [W]

$A_{\mathrm{K}}$ – Kollektorflaeche [m²]

$q_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige Entzugsleistung nach VDI 4640 Blatt 2, Tabelle A2 [W/m²]

$e_{\mathrm{A}}=\frac{Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}}{A_{\mathrm{K}}}\le e_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$   (13)

$e_{\mathrm{A}}$ – Entzugsenergie je Kollektorflaeche [kWh/(m²·a)]

$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ – Jahresentzugsarbeit nach (9) [kWh/a]

$A_{\mathrm{K}}$ – Kollektorflaeche [m²]

$e_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige Entzugsenergie nach VDI 4640 Blatt 2, Tabelle A2 [kWh/(m²·a)]

Die Grenzwerte stehen in Tabelle A2 — 15 Klimazonen nach DIN 4710 mal vier Bodenarten (Sand, Lehm, Schluff, sandiger Ton). Diese Tabelle ist vollstaendig hinterlegt. Die Spannen: von 5 W/m² und 12 kWh/(m²·a) (Zone 11, Sand) bis 42 W/m² und 69 kWh/(m²·a) (Zone 12 bzw. 5, sandiger Ton).

Die 13 Untergrundtypen aus Blatt 1 werden auf die vier Bodenarten aus Blatt 2 abgebildet — Textur zuerst, $\lambda$ als Feinabgleich, und im Zweifel konservativ:

• Sand und Kies (alle Feuchtezustaende) → Sand. Blatt 2 kennt keinen Kies; „Sand" ist die naechstgelegene Kornklasse und fuehrt zugleich die niedrigsten Grenzwerte.
• Ton/Schluff trocken → Sand. Hier schlaegt $\lambda$ die Textur: 0,5 W/(m·K) liegt deutlich unter dem kleinsten Rechenwert der Tabelle (Sand, 1,2).
• Ton/Schluff wassergesaettigt → sandiger Ton (bindig, $\lambda$ = 1,8 = genau der Tabellenwert).
• Geschiebemergel/-lehm → Lehm.
• Festgesteine (Tonstein, Sandstein, Kalkstein, Granit, Gneis) → sandiger Ton, die hoechste Klasse. Tabelle A2 gilt fuer Lockergestein; ein Flachkollektor im Fels ist ohnehin untypisch. Solche Ergebnisse werden als Naeherung gekennzeichnet.

Wird ein Grenzwert ueberschritten, nennt der Hinweis die erforderliche Flaeche — die groessere der beiden Forderungen:

$A_{\mathrm{K},\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}=\max (\frac{P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{q_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}},\frac{Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}}{e_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}})$   (14)

$A_{\mathrm{K},\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}$ – erforderliche Kollektorflaeche, die groessere der zwei Forderungen [m²]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung nach (10) [W]

$q_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige Entzugsleistung [W/m²]

$Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ – Jahresentzugsarbeit nach (9) [kWh/a]

$e_{\mathrm{A},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige Entzugsenergie [kWh/(m²·a)]

Beispiel: 250 m² in Zone 6 auf feuchtem Sand bei $P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ = 6 480 W und $Q_{\mathrm{Q},\mathrm{a}}$ = 8 900 kWh/a ergeben 25,9 W/m² gegen 16 W/m² und 35,6 gegen 31 kWh/(m²·a); nach (14) waeren 405 m² noetig.

8. Auslegungspruefung Erdsonde (Anhang B)

${\ell }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\ell }_{\mathrm{S}}\cdot \max (1,n_{\mathrm{S}})$   (15)

${\ell }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ – gesamte Sondenmeterzahl [m]

${\ell }_{\mathrm{S}}$ – Laenge je Sonde [m]

$n_{\mathrm{S}}$ – Anzahl Sonden [–]

$1$ – Untergrenze: eine Sonde ist das Mindeste, was vorhanden sein kann [–]

$q_{\mathrm{B}}=\frac{P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\ell }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}}\le q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$   (16)

$q_{\mathrm{B}}$ – spezifische Entzugsleistung der Sonde [W/m]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung nach (10) [W]

${\ell }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ – gesamte Sondenmeterzahl nach (15) [m]

$q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige spezifische Entzugsleistung nach VDI 4640 Blatt 2, Tabelle B2 [W/m]

Das $\max (1,n_{\mathrm{S}})$ in (15) ist nicht Kosmetik: Eine leere oder auf 0 stehende Sondenzahl ergaebe 0 Sondenmeter, und (16) meldete eine Entzugsleistung von unendlich vielen W/m. Eine Sonde ist das Mindeste, was vorhanden sein kann.

Der Grenzwert $q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ kommt aus Tabelle B2 („nur Heizen", Soleaustritt −5 °C bei Spitzenlast) und haengt an drei Groessen: der Waermeleitfaehigkeit $\lambda$ des Untergrunds, der Sondenzahl $n_{\mathrm{S}}$ (Reihe, Abstand 6 m) und den Jahresvolllaststunden $t_{\mathrm{V}}$. Zwischenwerte entstehen durch lineare Interpolation zwischen den Stuetzstellen. Liegt noch kein Lauf vor, tritt an die Stelle von $t_{\mathrm{V}}$ der Zonenwert nach DIN 4710.

Tabelle B2 ist nur als Auszug hinterlegt: Stuetzstellen sind $\lambda$ = 1, 2, 3, 4 W/(m·K), $t_{\mathrm{V}}$ = 1 200 / 1 800 / 2 400 h/a und $n_{\mathrm{S}}$ = 1 bzw. 5 (bei 2 400 h: 1 bzw. 4). Ausserhalb wird auf den Randwert geklemmt — auf der Sondenzahl-Achse ist das nicht konservativ, weil $q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ mit der Sondenzahl sinkt. Ein solches Ergebnis traegt deshalb einen ausdruecklichen Vorbehalt.

Ueberschreitet der Istwert den Grenzwert, nennt der Hinweis die erforderliche Sondenmeterzahl:

${\ell }_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}=\frac{P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}}$   (17)

${\ell }_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}$ – erforderliche Sondenmeterzahl [m]

$P_{\mathrm{Q},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ – maximale Entzugsleistung nach (10) [W]

$q_{\mathrm{B},\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}$ – zulaessige spezifische Entzugsleistung [W/m]

9. Die zweite Warnbedingung: Frost

Geprueft wird ausserdem, ob Quelltemperatur minus Spreizung dauerhaft unter 0 °C liegt. Gezaehlt werden ausschliesslich die Betriebsstunden — in Stillstandsstunden entzieht niemand Waerme, eine Frostmeldung daraus waere gegenstandslos:

$n_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}=|\{t\in \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}:{\vartheta }_{\mathrm{Q}}(t)-\Delta \vartheta <0\}|$   (18)

$n_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ – Zahl der Betriebsstunden mit Frost an der Quelle [h/a]

$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}$ – die Stunden, in denen die Waermepumpe laeuft; Stillstandsstunden zaehlen nicht [–]

${\vartheta }_{\mathrm{Q}}(t)$ – Quelltemperatur der Anlage nach (6) bzw. (7) [°C]

$\Delta \vartheta$ – nutzbare Spreizung der Quelle; Vorgabe 5 [K]

$n_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}>\mathrm{0,05}\cdot n_{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}}\to \text{Warnung}$   (19)

$n_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}$ – Zahl der Frost-Betriebsstunden nach (18) [h/a]

$n_{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}}$ – Betriebsstunden der Waermepumpe im Lauf [h/a]

$\mathrm{0,05}$ – Frostschwelle als Anteil der Betriebsstunden, also 5 % [–]

Ohne gepflegte Spreizung gelten $\Delta \vartheta$ = 5 K.

Der Bezug auf $n_{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}}$ in (19) ist Absicht: Eine Waermepumpe mit 2 000 Betriebsstunden haette bei Bezug auf 8 760 h erst ab 438 h gewarnt — also erst, wenn schon ein Fuenftel ihrer Laufzeit im Frost liegt.

Kein Widerspruch zur Auslegungspruefung. VDI 4640 Blatt 2 bemisst gegen eine minimale Soleaustrittstemperatur von −5 °C; eine rechnerisch unter 0 °C liegende Soletemperatur verletzt die Grenzwerte aus (12), (13) und (16) also nicht. Die Frostbedingung (18)/(19) ist eine ZUSAETZLICHE, strengere Anzeige.

Grenzen und Annahmen

• Keine Rueckwirkung des Entzugs auf die Temperatur. In (6) und (7) kommt $P_{\mathrm{Q}}(t)$ nicht vor: Das Modell liefert den ungestoerten Jahresgang des Erdreichs; dass die Waermepumpe den Boden abkuehlt, ist nicht abgebildet. Auch die Regeneration (durch Solarthermie, Abwaerme oder den Sommer) wird nicht gerechnet. Genau dafuer gibt es die Auslegungspruefung: Sie haelt den Entzug gegen die Grenzwerte, unter denen die Norm eine dauerhaft tragfaehige Quelle erwartet.
• Keine Langzeitbetrachtung. Ein Jahr, kein Absinken ueber 20 oder 50 Betriebsjahre.
• Kein Sondenmodell. Bohrlochwiderstand, Sondenabstand, Verfuellung und Grundwasserstroemung kommen in (7) nicht vor; die Sonde ist eine Konstante.
• Ein Bodentyp je Anlage. Geschichteter Untergrund wird nicht abgebildet — $\lambda$ und $\rho \cdot c_{\mathrm{p}}$ sind je Anlage EIN Wertepaar.
• Die Randbedingungen der Normtabellen werden nicht geprueft. Tabelle A2 gilt fuer PE-Rohr 32 × 3,0 mm bei turbulenter Stroemung und Heizgrenztemperatur 12 °C, Tabelle B2 fuer eine Doppel-U-Sonde 32 × 3,0 mit Verfuellung $\lambda$ = 0,8 W/(m·K), Bohrloch 150 mm und turbulenter Stroemung. Bei laminarer Stroemung sinkt die zulaessige Entzugsleistung um rund 10 % (A2) bzw. auf Faktor 0,79 bis 0,85 (B1) — das ist vom Anwender zu beruecksichtigen.
• Nur der Standardfall „Heizen ohne Trinkwarmwasser". Die uebrigen Betriebsfaelle (Tabellen B3 bis B7) und die Kapillarrohrmatten (Tabelle A3) sind nicht hinterlegt.
• Tabelle B2 nur als Auszug (siehe Schritt 8).
• Normstand Blatt 1 ist ein Entwurf (2021-12, Gruendruck). Ergebnisse sind als solche auszuweisen.
• Die Ergebnisse der Pruefung werden nicht gespeichert. Sie gelten fuer den Lauf der laufenden Sitzung; nach einem Programmstart steht im Dialog wieder „noch kein Simulationslauf".

Ergebnisse und wo sie stehen

• Dialog „Wärmequelle Erdreich", Abschnitt „Jahresgang der Quelltemperatur" — das Bild von ${\vartheta }_{\mathrm{Q}}(t)$ nach (6) bzw. (7), darunter Minimum, Maximum und Mittel samt Monat; ein Hinweis sagt an, wenn mit den Ersatzwerten aus Schritt 1 gerechnet wurde.
• Dialog „Wärmequelle Erdreich", Abschnitt „Auslegungsprüfung nach VDI 4640 Blatt 2" — Istwert gegen Grenzwert je Pruefzeile (12), (13) bzw. (16), die Grundlage (Klimazone und Bodenart bzw. $\lambda$, Sondenzahl, Volllaststunden), der Hinweis mit der erforderlichen Flaeche nach (14) bzw. Sondenlaenge nach (17), dazu Vorbehalt und Frostmeldung nach (19).
• Simulationsergebnis, Reiter „Wärmepumpe" — $P_{\mathrm{t}\mathrm{h},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$ und $P_{\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{W}\mathrm{P}}(t)$, aus denen (8) den Entzug bildet.
• Laufprotokoll — die Warnung bei unstimmiger Tiefe (Schritt 5) und die Meldung, wenn eine Quelle nicht geprueft werden kann.

Bezüge

• Wärmequelle Erdreich — Bedienung des Dialogs
• Berechnung: Wärmepumpe — wie die Quelltemperatur in Kennlinie und Leistungszahl eingeht
• Berechnung: Simulationsablauf — wann die Auswertung läuft
• Klimadaten — woher die Außentemperatur kommt