Grundlagen/Bauteile am Erdreich

Ein Bauteil am Erdreich – Bodenplatte, Kellerboden oder Kellerwand – gibt seine Wärme nicht an die Außenluft ab, sondern an den Boden darunter und daneben. Das Erdreich wirkt dabei wie eine zusätzliche, dicke Dämmschicht: Der Wärmestrom muss einen weiten Weg durch den Boden nehmen, bevor er die Oberfläche erreicht. EPOS-Plan rechnet diesen Weg nach DIN EN ISO 13370 (Wärmeübertragung über das Erdreich – Berechnungsverfahren) als Erdreichwiderstand. Diese Seite erklärt, warum eine große Platte je Quadratmeter weniger verliert als eine kleine, mit welchen Formeln der Norm EPOS-Plan den wirksamen U-Wert und die Temperatur unter der Platte bildet, und rechnet beides an einem Beispiel durch.

Worum es geht

Unter der Mitte einer großen Bodenplatte ist der Weg zur Außenluft lang, am Rand kurz. Der Wärmestrom fließt deshalb vor allem über den Plattenrand ab, und eine große, kompakte Platte verliert je Quadratmeter deutlich weniger als eine kleine oder langgestreckte. Diese Geometrie fasst das charakteristische Bodenplattenmaß zusammen: $B^{\prime }=A/(\mathrm{0,5}\cdot P)$ mit der Grundfläche $A$ und dem freiliegenden Umfang $P$. Je größer $B^{\prime }$, desto kleiner der Wärmedurchgang der Platte samt Erdreich.

Prinzipbild: Wärmestrom einer Bodenplatte durch das Erdreich, Randweg und Mittelweg, charakteristisches Maß B′ und Randtemperatur unter der Platte (Jahresmittel der Außenluft, Jahresgang gedämpft und verzögert).

Zwei Wirkungen kommen zusammen. Die erste ist der Widerstand: Das Erdreich verlängert den Weg der Wärme, und zwar umso mehr, je weiter ein Punkt der Platte vom Rand entfernt ist; im Mittel über die Platte ist das ein zusätzlicher Wärmedurchlasswiderstand in Reihe zum Bodenaufbau. Die zweite ist die Trägheit: Der Boden speichert viel Wärme, und die Jahreswelle der Außentemperatur dringt nur wenige Meter tief ein. Unter der Mitte einer großen Platte herrscht deshalb fast das ganze Jahr das Jahresmittel der Außenluft; nur am Rand schwingt der Boden merklich mit Sommer und Winter mit, um etwa einen Monat verspätet. Ein U-Wert gegen die Außenluft würde beides übersehen: Er überschätzt den Verlust im Winter und unterschätzt ihn im Sommer.

So rechnet EPOS-Plan

• Erdreichwiderstand in Reihe. Zum Wärmedurchlasswiderstand des Bauteils tritt der Widerstand des Erdreichs $R_{\mathrm{g}}$. Der wirksame U-Wert ist $U_{\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}}=1/(1/U+R_{\mathrm{g}})$ und damit nie größer als der eingetragene U-Wert.
• Bodenplatte. Aus $B^{\prime }$ und der wirksamen Gesamtdicke des Bodenaufbaus folgt nach der Norm der Wärmedurchgang der Platte samt Erdreich; für gut gedämmte Platten gilt eine eigene, einfachere Beziehung. Ein Kellerboden in der Tiefe $z$ rechnet ebenso, mit einem Zuschlag für die Tiefe.
• Kellerwand. Bauteile am Erdreich mit einer Neigung zwischen 45° und 135° gelten als Wand und rechnen nach dem Ansatz der Norm für Kellerwände; flachere gelten als Boden.
• Randtemperatur. Am Ende des Erdreichwiderstands der Bodenplatte steht die virtuelle Randtemperatur nach DIN EN ISO 13370 (Anhang F und H): das Jahresmittel der Außenluft, um deren Jahresschwankung schwankend, gedämpft mit dem Verhältnis aus periodischem Leitwert H_pe = 0,37·P·λ·ln(δ/d_t + 1) und U_g·A und um einen Monat verzögert. Die Jahreswelle dringt nur rund δ = 3 m ins Erdreich ein; deshalb wächst der schwankende Anteil des Bodenstroms mit dem Umfang, nicht mit der Fläche — eine Platte von 100 m² folgt der Außenluft etwa zur Hälfte, eine von 10 000 m² nur zu einem Siebtel. Liegen mehrere Zonen auf einer Platte, bekommt jede Zone ihren Anteil nach ihrem Anteil am Umfang (ohne Angabe nach der Fläche); eine Zone ohne Außenkante sieht das Jahresmittel. Kellerwände sehen die Erdreichtemperatur in 1 m Tiefe, gedämpft und zeitversetzt aus dem Jahresgang der Außenluft abgeleitet. Ein äußerer Wärmeübergang entfällt, weil das Bauteil keine Luft berührt.
• Festwerte. Die Rechnung verwendet feste Annahmen: Wärmeleitfähigkeit des Erdreichs nach der Bodenart des Gebäudes (DIN EN ISO 13370, Tabelle 7: Ton oder Schluff $\lambda =\mathrm{1,5}$, Sand oder Kies $\lambda =\mathrm{2,0}$, Fels $\lambda =\mathrm{3,5}$ W/(m·K); ohne Angabe gilt Sand oder Kies), Wanddicke $w=\mathrm{0,3}$ m in der wirksamen Gesamtdicke und der äußere Übergangswiderstand $R_{\mathrm{s}\mathrm{e}}=\mathrm{0,04}$ m²·K/W allein in den Formeln der Norm.

Die Formeln im Einzelnen

Die wirksame Gesamtdicke rechnet den Bodenaufbau in eine gleichwertige Erdreichschicht um – so dick, wie Erdreich sein müsste, um denselben Widerstand zu haben:

$d_{\mathrm{t}}=w+\lambda \cdot (R_{\mathrm{s}\mathrm{i}}+R_{\mathrm{f}}+R_{\mathrm{s}\mathrm{e}})$

mit der Wanddicke $w$, der Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ des Erdreichs, dem inneren Übergang $R_{\mathrm{s}\mathrm{i}}=\mathrm{0,17}$ m²K/W (Wärmestrom abwärts) und dem Widerstand des Bodenaufbaus $R_{\mathrm{f}}=1/U-R_{\mathrm{s}\mathrm{i}}$ aus dem eingetragenen U-Wert. Daraus der Wärmedurchgang der Platte samt Erdreich:

$U_{\mathrm{g}}=\frac{2\lambda }{\pi B^{\prime }+d_{\mathrm{t}}}\ln (\frac{\pi B^{\prime }}{d_{\mathrm{t}}}+1)\text{für }{d}_{\mathrm{t}}<B^{\prime }{U}_{\mathrm{g}}=\frac{\lambda }{\mathrm{0,457}{B}^{\prime }+d_{\mathrm{t}}}\text{für }{d}_{\mathrm{t}}\ge B^{\prime }$

Die zweite Form gilt für gut gedämmte Platten, deren gleichwertige Dicke schon größer ist als die Platte breit. Ein Kellerboden in der Tiefe $z$ rechnet mit $d_{\mathrm{t}}+\mathrm{0,5}z$ statt $d_{\mathrm{t}}$; die Tiefe ist die Fläche der Kellerwände am Erdreich des ganzen Gebäudes geteilt durch den Umfang. Eine Kellerwand rechnet mit ihrer eigenen gleichwertigen Dicke $d_{\mathrm{w}}=\lambda \cdot (R_{\mathrm{s}\mathrm{i}}+R_{\mathrm{w}}+R_{\mathrm{s}\mathrm{e}})$ und der des Bodens $d_{\mathrm{t}}$:

$U_{\mathrm{b}\mathrm{w}}=\frac{2\lambda }{\pi z}(1+\frac{\mathrm{0,5}{d}_{\mathrm{t}}}{d_{\mathrm{t}}+z})\ln (\frac{z}{d_{\mathrm{w}}}+1)$

Der Erdreichwiderstand ist der Unterschied der Kehrwerte, und er wird nie negativ:

$R_{\mathrm{g}}=\max (0,\frac{1}{U_{\mathrm{g}}}-\frac{1}{U})U_{\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}}=\frac{1}{1/U+R_{\mathrm{g}}}$

Am Ende von $R_{\mathrm{g}}$ steht die virtuelle Randtemperatur der Bodenplatte. Sie schwingt mit dem Jahresgang der Außenluft – Mittel ${\overline{\theta }}_{\mathrm{e}}$, Amplitude ${\hat{\theta }}_{\mathrm{e}}$, Stunde des Minimums $t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, gewonnen aus den zwölf Monatsmitteln der Klimaregion –, gedämpft mit $k$ und um $\beta =1$ Monat verzögert:

${\theta }_{\mathrm{v}\mathrm{i}}(t)={\overline{\theta }}_{\mathrm{e}}-k\cdot {\hat{\theta }}_{\mathrm{e}}\cos (\omega (t-t_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})-\frac{2\pi \beta }{12})k=\min (1,\frac{H_{\mathrm{p}\mathrm{e}}}{U_{\mathrm{g}}A})H_{\mathrm{p}\mathrm{e}}=\mathrm{0,37}P\lambda \ln (\frac{\delta }{d_{\mathrm{t}}}+1)$

mit $\omega =2\pi /8760\mathrm{h}$ und der periodischen Eindringtiefe $\delta$ der Bodenart. Weil $H_{\mathrm{p}\mathrm{e}}$ mit dem Umfang wächst und $U_{\mathrm{g}}A$ mit der Fläche, sinkt $k$ mit der Größe der Platte.

Bodenart	Wärmeleitfähigkeit λ in W/(m·K)	periodische Eindringtiefe δ in m
Ton oder Schluff	1,5	2,2
Sand oder Kies (Vorgabe)	2,0	3,2
Fels	3,5	4,2

Links der wirksame U-Wert der Bodenplatte samt Erdreich über dem charakteristischen Maß B′ für drei Bodenaufbauten mit der Beispielplatte 10 m × 20 m, rechts der Anteil der Jahresschwankung an der Randtemperatur über der Grundfläche einer quadratischen Platte. Gerechnet mit den Formeln und Festwerten des Rechenkerns, Boden Sand oder Kies.

Beispiel

Ein Gebäude steht auf einer Bodenplatte von 10 m × 20 m, frei an allen vier Seiten; der Bodenaufbau hat ohne Erdreich U = 0,25 W/(m²K), der Boden ist Sand oder Kies.

1. Geometrie: $A=200$ m², $P=60$ m, $B^{\prime }=200/(\mathrm{0,5}\cdot 60)=\mathrm{6,67}$ m.
2. Gleichwertige Dicke: $R_{\mathrm{s}\mathrm{i}}+R_{\mathrm{f}}=1/\mathrm{0,25}=\mathrm{4,0}$ m²K/W, also $d_{\mathrm{t}}=\mathrm{0,3}+\mathrm{2,0}\cdot (\mathrm{4,0}+\mathrm{0,04})=\mathrm{8,38}$ m. Das ist mehr als $B^{\prime }$; es gilt die Form für gut gedämmte Platten.
3. Platte samt Erdreich: $U_{\mathrm{g}}=\mathrm{2,0}/(\mathrm{0,457}\cdot \mathrm{6,67}+\mathrm{8,38})=\mathrm{2,0}/\mathrm{11,43}=\mathrm{0,175}$ W/(m²K).
4. Erdreichwiderstand: $R_{\mathrm{g}}=1/\mathrm{0,175}-\mathrm{4,0}=\mathrm{1,71}$ m²K/W; der wirksame U-Wert ist 0,175 statt 0,25 W/(m²K), der Leitwert der Platte 0,175 × 200 = 35 W/K.
5. Dämpfung: $H_{\mathrm{p}\mathrm{e}}=\mathrm{0,37}\cdot 60\cdot \mathrm{2,0}\cdot \ln (\mathrm{3,2}/\mathrm{8,38}+1)=\mathrm{14,4}$ W/K, $k=\mathrm{14,4}/35=\mathrm{0,41}$. Schwanken die Monatsmittel der Außenluft um ±9 K um das Jahresmittel, schwankt die Randtemperatur um ±3,7 K, einen Monat später.

Mit einem Jahresmittel von 10 °C liegt die Randtemperatur im kältesten Monat also bei gut 6 °C; die Platte verliert dann bei 20 °C Raumtemperatur 35 × (20 − 6,3) ≈ 480 W. Gegen die Außenluft am kältesten Tag von −12 °C gerechnet wären es 35 × 32 = 1,1 kW – das Erdreich hält die Kältespitze von der Platte fern. Dieselbe Platte ohne Dämmung (Aufbau U = 1,0) käme mit dem Erdreich auf 0,39 W/(m²K): Mehr als die Hälfte des Widerstands liefert dann der Boden. Eine Halle von 40 m × 50 m mit demselben ungedämmten Aufbau hat $B^{\prime }=\mathrm{22,2}$ m und kommt auf 0,19 W/(m²K).

Eingaben und Wirkung

Eingabe	Wirkung
Grundfläche	geht als $A$ in $B^{\prime }$ ein; ohne Grundfläche zählen die Bodenbauteile am Erdreich
Gesamtumfang der Bodenplatte, davon angebaut	freiliegender Umfang $P$ = Gesamtumfang abzüglich der angebauten Länge; ohne Eingabe kommt der Gesamtumfang aus den Außenkanten des untersten Geschosses eines importierten Grundrisses, sonst gilt das flächengleiche Quadrat $P=4\sqrt{A}$. Die Länge des Anschlusses Außenwand–Kellerdecke ist allein die Wärmebrückenlänge
Randbedingung der Bodenplatte	nur Erdreich rechnet nach DIN EN ISO 13370; Keller rechnet mit der Kellertemperatur, Außenluft wie ein Außenbauteil
U-Wert des Bauteils	Wärmedurchlass des Aufbaus ohne Erdreich
Wirksamer U-Wert Bodenplatte	leer rechnet das Programm den U-Wert der Platte samt Erdreich nach DIN EN ISO 13370 aus Grundfläche und freiliegendem Umfang; ein eingetragener Wert größer als 0 ersetzt diese Rechnung ($B^{\prime }$ wird dann nicht gerechnet), wirkt aber höchstens mit dem U-Wert des Bauteils
Bodenart	Wärmeleitfähigkeit und Eindringtiefe des Erdreichs; Vorgabe Sand oder Kies

Was das für die Planung bedeutet

• Den Umfang angeben. Bei langgestreckten Grundrissen ist $B^{\prime }$ deutlich kleiner als beim flächengleichen Quadrat; ohne Umfang rechnet das Programm mit dem Quadrat und unterschätzt den Randverlust.
• Angebaute Seiten abziehen. Eine Seite, die an ein beheiztes Nachbargebäude grenzt, verliert über das Erdreich kaum; als angebaut eingetragen vergrößert sie $B^{\prime }$ und senkt den U-Wert.
• Eine Randdämmung rechnet das Modell nicht. Weil der Wärmestrom über den Rand geht, wirkt Dämmung dort am stärksten; die Norm hat dafür eigene Ansätze, EPOS-Plan rechnet die Platte aber ohne Randdämmung. Ein besserer Bodenaufbau wirkt über die größere gleichwertige Dicke, also über ein kleineres $U_{\mathrm{g}}$ und ein kleineres $k$.
• Große Hallen sehen das Jahresmittel. Unter einer großen Platte schwingt die Randtemperatur kaum; der Boden kühlt im Winter wenig und wärmt im Sommer wenig. Im Lauf zeigt sich das an einer fast gleichmäßigen Transmission über den Boden.

Fallstricke

• Wer den U-Wert der Bodenplatte schon samt Erdreich ermittelt hat, trägt ihn als wirksamen U-Wert ein – nicht als U-Wert des Bauteils, sonst zählt das Erdreich doppelt.
• Ein fehlender Umfang macht die Platte zum Quadrat; bei langgestreckten Grundrissen unterschätzt das den Randverlust, bei angebauten Seiten überschätzt es ihn. Ein Umfang aus einem Grundriss mit Lücken (Flächendeckung unter 90 % oder mehr als 15 % über der konvexen Hülle) gilt als unsicher und wird im Lauf gemeldet.
• Ohne Bodenart rechnet die Platte mit Sand oder Kies; Ton, Schluff oder Fels wählt die Bodenart im Gebäudedialog.

Weiterführend

• Grundlagen/Gebäudemodell VDI 6007 – das Stundenmodell, in das die Bauteile am Erdreich eingehen
• Gebäude: Hülle – Randbedingung, Umfang und wirksamer U-Wert im Dialog
• Grundlagen/Wärmequelle Erdreich – das Erdreich als Wärmequelle der Wärmepumpe
• Grundlagen/Klimadaten – der Jahresgang der Außenluft, aus dem die Randtemperatur folgt

Grundlagen

• Klimadaten
• Wärmebedarfsrechnung
• Strombedarf und Lastprofile
• Brauchwasser
• Prozesswärme
• Gebäudemodell VDI 6007
• Bauteile am Erdreich
• Brauchwasser-Zapfprofile
• Gemeinjahr und Feiertage
• Wärmepumpe
• Wärmequelle Erdreich
• BHKW
• Solarkollektoren
• Photovoltaik
• Wechselrichter
• Kessel und Spitzenlast
• Kühlung
• Pufferspeicher
• Stromspeicher
• Hydraulikschemata
• Anlagenkopplung und Regelung
• Vergleich Energiebilanz
• Kostenrechnung
• Erlösrechnung
• Wirtschaftlichkeitsrechnung